1=0.9999

nombre 0.9999999

Bonjour à tous,

Bienvenue sur ce tout premier article scientifique concernant les mathématiques. En effet, aujourd’hui je vais vous parler d’un sujet qui à fait couler un peu d’encre dans ma classe.

Une évidence pas si évidente

Je risque fortement de plagier Wikipédia sur le sujet, donc je préfère donner le lien tout de suite pour les plus impatients : Lien wikipédia

Nous allons donc démontrer qu’un réel avec un nombre fini de décimales, peut se représenter sous forme d’un autre réel avec cette fois une infinité de 9 à la fin.

Exemple

Prenons A = 1.23450000000000000… Ce nombre possède bien un nombre finie de décimales (2 – 3 – 4 – 5) suivie d’une infinité de zéros. Nous allons voir que ce nombre peut se représenter sous un autre forme : A = 1.2344999999999.

1=0.99999… le cas d’école

Il existe plusieurs démonstrations pour prouver ce fait plutôt étrange. Commençons par la plus connue.

Démonstration 1

Pour ce faire nous allons poser A = 1/3
Puis nous allons regarder sa valeur sous forme réelle : A = 0.333333…
Enfin il suffit de multiplier les 2 représentations de A par 3 tel que :

  • (1/3)         * 3  = 1
  • 0.33333… * 3 = 0.99999…

Donc 1=0.999999…

Certains diront que 1/3 ≈ 0.3333… qui implique une erreur d’approximation. Mais non, 0.33333… avec une infinité de 3 est strictement égal à 1/3.

Démonstration 2

Pour convaincre les septiques, qu’une possible erreur d’approximation aurait pu se glisser lors de la division 1/3. Nous allons passer par la multiplication et la soustraction.

Posons notre A = 0.99999… Et multiplions le par 10 tel que : 10*A = 9.999999….
Maintenant enlevons 1 fois A tel que : 10*A – A = 9.9999… – 0.99999…. = 9
Si nous simplifions cette équation cela nous donne :
10*A- A = 9A
=> 9*A = 9
=> A = 1

Je sais qu’il n’est pas évident de ce dire qu’un nombre peut avoir 2 représentations à la fois, mais c’est bien le cas. Il ne faut pas être buté ou fermé d’esprit.

J’ai pourtant assister à une scène assez violente verbalement, où la personne niée en bloque toutes ces démonstrations. En effet on remet en cause toute une façon de penser, et c’est assez abstrait de ce dire que 1 = 0.9999. On aurait envie de dire qu’il existe un écart entre ces 2 nombres aussi infime soit-il.

D’ailleurs essayons de calculer cette différence :

1 – 0.9999 … = 0.00000…1
Cependant les « … » représente une infinité de 0, alors comment placer un 1 derrière ? C’est tout simplement impossible. L’écart entre ces 2 nombres de même signe et donc de 0, ils sont donc égaux.

Pour finir, je vous ré-invite à aller consulter la page Wikipédia sur le développement décimal de l’unité. Celui-ci regorge d’informations sur ce phénomène particulier des mathématiques.

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